שאלון 804 - בגרות במתמטיקה מועד חורף תשע 2010  - פו"ד ללא מעגל - שאלה 4, משפטים 6, 96.

*
נשים לב כי למרות הנתון על חוצה הזווית ונושא השאלה (דמיון משולשים),
אין בשאלה זו שימוש במשפט חוצה זווית.

א)1)
לפי הנתון על הזוויות, נסמן את זווית B בתור X, ואז
זווית C שווה 2X. מכיוון ש-CD חוצה זווית, 
נקבל זווית ACD שווה לזווית DCB וכ"א שווה ל-X.

מאחר ש-A זווית משותפת, הרי משולש ADC דומה
למשולש ACB לפי משפט דמיון ז.ז

א)2)
נסמן AD=Y ולכן לפי הנתון על AB=32, נקבל BD=32-Y.
כעת נשתמש ביחס הדמיון לפי המשולשים מסעיף א' ונקבל:
AD/AC=AC/AB. נציב את הנתונים ונמצא את AD.

א)3)
לפי סימון הזוויות, משולש DCB הוא משולש שווה שוקיים ולכן DC=DB.
כעת נשתמש שוב ביחס דמיון המשולשים ונקבל: 
DC/BC=AD/AC. במקום DC נציב את DB, ולאחר מכן
את הגדלים הידועים לנו עד כה, ונקבל את BC.

ב)
נעביר את הקטע DF.
מאחר ש-F נתונה כאמצע הקטע BC,
הרי ש-DF תיכון במשולש שווה שוקיים DBC,
ולכן גם גובה, לפי משפט 6.
לפיכך DF ניצב ל-BC.